Согласно пункту 58 Порядка выдачи листков нетрудоспособности в строке ФИО указывается фамилия, имя, отчество (отчество указывается при наличии) застрахованного гражданина в соответствии с документом удостверяющим личность. Поэтому если в паспорте ваша фамилия через Ё, то и в больничном должны писать именно так.  Поэтому если в листке ваша фамилия написана через Е, а не через Ё, то необходимо обратиться в лечебное учреждение, выдавшее его, для оформления листка в соответствии с требованиями Порядка выдачи листков нетрудоспособности.